مصفوفة مرافقة

المصفوفة المرافقة (بالإنجليزية: Comatrix) في الجبر الخطي لمصفوفة مربعة $A$ هي المصفوفة المربعة $com(A)$ من نفس الحيز، كل عنصر$com(A{)}_{i,j}$، ويسمى بالعامل المرافق، فيها يكتب بدلالة محدد المصفوفة الناتجة عن إلغاء السطر $i$ والعمود $j$ في $A$. إذا كانت $A$ قابلة للعكس ، فإن مصفوفتها المرافقة تمكن من حساب المصفوفة العكسية ل $A$.

في ما يلي، نعتبر $A$ مصفوفة مربعة حيزها $n$، بعناصر في حلقة تبادلية $K$.

تعريف

باعتبار مصفوفة مربعة $A$، حيزها $n$ ، العامل المرافق Cofactor ذو الإحداثيات $(i,j)$، الذي هو العنصر $(i,j)$ للمصفوفة المرافقة $com(A)$، يساوي:

${(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}A)}_{i,j}:=det(A{\text{'}}_{i,j})=(-1{)}^{i+j}det(A_{i,j})$ بحيث:

• $A{\text{'}}_{i,j}$ هي المصفوفة المربعة التي حيزها $n$ والمشكلة انطلاقا من $A$، عبر تعويض عناصر العمود $j$ بأصفار باستثناء العنصر $(i,j)$ الذي يعوض ب $1$.
• $A_{i,j}$ هي المصفوفة المربعة التي حيزها $n-1$ والمشكلة انطلاقا من $A$، عبر حذف العمود $j$ والسطر $i$. محدد $A_{i,j}$ يشكل بالتالي عنصرا من مجموعة مختصرات $A$.

صيغ لابلاص

يمكن حساب محدد مصفوفة مربعة $A$ فقط انطلاقا من عناصر عمود (أو سطر) واحد ومن معاملاتها المرافقة. هذه الطريقة، المعروفة بصيغة لابلاص (نسبة إلى الرياضياتي الفرنسي بيير لابلاص) تمكن من تحويل مسألة حساب محدد من الرتبة $n$ إلى $n$ عملية حسابية لمحددات من الرتبة $n-1$، وهو ما يشكل تبسيطا أو تخفيفا للعملية، على مستوى القدرة الحسابية.

صيغ لابلاص لحساب المحددات باستعمال المصفوفات المرافقة

البعد	الصيغة
العمود $j$	$detA=\sum _{i=1}^n{a}_{i;j}(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}A{)}_{i,j}$
السطر $i$	$detA=\sum _{j=1}^n{a}_{i;j}(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}A{)}_{i,j}$

خاصيات

• المصفوفة المرافقة لمنقولة $A$ هي منقولة مرافقتها: $com(t^{}A)=t^{}com(A)$.
• عملية المرافقة ثابتة حسب عملية الجداء: بالنسبة لمصفوفتين مربعتين $A$ و$B$: $com(AB)=com(A)\times com(B)$.
• إذا كان $K$ حقلا تبادليا:
  • إذا كانت $A$ قابلة للعكس، أي برتبة $n$، فإن $com(A)$ أيضا قابلة للعكس.
  • إذا كانت رتبة $A$ تساوي $n-1$ (مع $n\ge 2$): $rank(com(A))=1$.
  • إذا كانت$rank(A)\le n-2$ (مع $n\ge 3$): $com(A)=0$.

أمثلة

مصفوفة حيزها $2\times 2$

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$

مصفوفة حيزها $3\times 3$

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& & a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& & a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& & a_{33}\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}+\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|\\ -\left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{13}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{13}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|\\ +\left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{13}\\ a_{22}& a_{23}\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{13}\\ a_{21}& a_{23}\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|\end{array}\right)$

للتذكير، فالمحدد يساوي: $\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$.