مصفوفة التبادل

في الرياضيات, و خصوصاً في الجبر الخطي, تكون مصفوفة التبادل عبارة عن حالة خاصة لمصفوفة تبديلية, حيث يكون العنصر 1 موزع على القطر العكسي، و بقية العناصر أصفار. و بعبارة أخرى, هي نسخة 'معكوسة-الصفوف' أو 'معكوسة-الأعمدة' للمصفوفة الوحدة.

$J_2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right);J_3=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right);J_n=\left(\begin{array}{cccccc}0& 0& \cdots & 0& 0& 1\\ 0& 0& \cdots & 0& 1& 0\\ 0& 0& \cdots & 1& 0& 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& 1& \cdots & 0& 0& 0\\ 1& 0& \cdots & 0& 0& 0\end{array}\right).$

تعريف

إذا كانت قيمة J نساوي مصفوفة التبادل n×n, إذاً تكون عناصر J معرفة كما يلي:

$J_{i,j}=\{\begin{array}{cc}1,& j=n-i\\ 0,& j\ne n-i\\ \end{array}$

خصائص

• عند ضرب مصفوفة التبادل بأي مصفوفة من اليسار يتم تبديل مواقع الصفوف.

كمثال

$\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}7& 8& 9\\ 4& 5& 6\\ 1& 2& 3\end{array}\right).$

• عند ضرب مصفوفة التبادل بأي مصفوفة من اليمين يتم تبديل مواقع الأعمدة.

كمثال

$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 6& 5& 4\\ 9& 8& 7\end{array}\right).$

• J^T = J.
• Jⁿ = I لأعداد n الزوجية; Jⁿ = J لأعداد n الفردية, حيث أن n هو أي عدد صحيح. و لذلك تكون J مصفوفة التفافية involutary matrix; مما تجعل من , J⁻¹ = J.
• إن المصفوفة المصاحبة لـ J هو الرقم 1 إذا كان n عدد فردي, و 0 إذا كان n عدد زوجي.

علاقات

• أي مصفوفة A تقوم بالشرط AJ = JA تسمى متناظرة حول المركز.
• أي مصفوفة A تقوم بالشرط AJ = JA^T تسمى كل-تناظرية persymmetric matrix.