متعددة حدود دويرانية

في الرياضيات، المعادلة الدُوَيْرَانِيَّة أو متعددة الحدود الدُوَيْرَانِيَّة أو كثير الحدود الدُوَيْرَانِي من الدرجة n لأي عدد صحيح موجب n، هي متعددة الحدود غير قابل للاختزال الوحيد ذات معاملات صحيحة التي هي قاسمة لـ $x^n-1$ وليست قاسمة لـ $x^k-1$ لأي k < n. جذوره كلها جذور الوحدة البدائية $e^{2i\pi \frac{k}{n}}$، حيث k أعداد صحيحة الموجبة أقل من n، و k وn أوليان فيما بينهما (و i هي الوحدة التخيلية). وبعبارة أخرى فإن متعددة الحدود الدويرانية من الدرجة n تساوي

${\mathrm{\Phi }}_n(x)={\prod }_{\stackrel{1\le k\le n}{gcd(k,n)=1}}(x-e^{2i\pi \frac{k}{n}}).$

يمكن تعريفها أيضًا على أنها متعددة الحدود واحدية المدخل ذات معاملات صحيحة وهي متعددة الحدود الدنيا على حقل الأعداد المُنْطقة لأي جذر الوحدة من الدرجة n البدائية ($e^{2i\pi /n}$ مثال على هذا الجذر).

هناك علاقة مهمة تربط بين كثيرات الحدود الدويرانية وجذور الوحدة البدائية

${\prod }_{d\mid n}{\mathrm{\Phi }}_d(x)=x^n-1,$

يوضح أن x هو جذر $x^n-1$ إذا وفقط إذا كانت عبارة عن جذر الوحدة البدائي من الدرجة d لبعض د الذي يقسم ن.

أمثلة

إذا كان n عددًا أوليًا، فإن

${\mathrm{\Phi }}_n(x)=1+x+x^2+\cdots +x^{n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}{x}^k.$

إذا كان n = 2 p حيث p هو عدد أولي فردي، فإن

${\mathrm{\Phi }}_{2p}(x)=1-x+x^2-\cdots +x^{p-1}=\sum _{k=0}^{p-1}(-x{)}^k.$

بالنسبة من n حتى 30، تكون كثيرات الحدود الدويرانية:

$\begin{array}{rr}{\mathrm{\Phi }}_1(x)& =x-1\\ {\mathrm{\Phi }}_2(x)& =x+1\\ {\mathrm{\Phi }}_3(x)& =x^2+x+1\\ {\mathrm{\Phi }}_4(x)& =x^2+1\\ {\mathrm{\Phi }}_5(x)& =x^4+x^3+x^2+x+1\\ {\mathrm{\Phi }}_6(x)& =x^2-x+1\\ {\mathrm{\Phi }}_7(x)& =x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\\ {\mathrm{\Phi }}_8(x)& =x^4+1\\ {\mathrm{\Phi }}_9(x)& =x^6+x^3+1\\ {\mathrm{\Phi }}_{10}(x)& =x^4-x^3+x^2-x+1\\ {\mathrm{\Phi }}_{11}(x)& =x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\\ {\mathrm{\Phi }}_{12}(x)& =x^4-x^2+1\\ {\mathrm{\Phi }}_{13}(x)& =x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\\ {\mathrm{\Phi }}_{14}(x)& =x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1\\ {\mathrm{\Phi }}_{15}(x)& =x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1\\ {\mathrm{\Phi }}_{16}(x)& =x^8+1\\ {\mathrm{\Phi }}_{17}(x)& =x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\\ {\mathrm{\Phi }}_{18}(x)& =x^6-x^3+1\\ {\mathrm{\Phi }}_{19}(x)& =x^{18}+x^{17}+x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\\ {\mathrm{\Phi }}_{20}(x)& =x^8-x^6+x^4-x^2+1\\ {\mathrm{\Phi }}_{21}(x)& =x^{12}-x^{11}+x^9-x^8+x^6-x^4+x^3-x+1\\ {\mathrm{\Phi }}_{22}(x)& =x^{10}-x^9+x^8-x^7+x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1\\ {\mathrm{\Phi }}_{23}(x)& =x^{22}+x^{21}+x^{20}+x^{19}+x^{18}+x^{17}+x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}\\ & +x^{11}+x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\\ {\mathrm{\Phi }}_{24}(x)& =x^8-x^4+1\\ {\mathrm{\Phi }}_{25}(x)& =x^{20}+x^{15}+x^{10}+x^5+1\\ {\mathrm{\Phi }}_{26}(x)& =x^{12}-x^{11}+x^{10}-x^9+x^8-x^7+x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1\\ {\mathrm{\Phi }}_{27}(x)& =x^{18}+x^9+1\\ {\mathrm{\Phi }}_{28}(x)& =x^{12}-x^{10}+x^8-x^6+x^4-x^2+1\\ {\mathrm{\Phi }}_{29}(x)& =x^{28}+x^{27}+x^{26}+x^{25}+x^{24}+x^{23}+x^{22}+x^{21}+x^{20}+x^{19}+x^{18}+x^{17}+x^{16}+x^{15}\\ & +x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\\ {\mathrm{\Phi }}_{30}(x)& =x^8+x^7-x^5-x^4-x^3+x+1.\end{array}$

حالة متعددة الحدود الدويرانية من الدرجة 105 مثيرة للاهتمام لأن 105 هي أقل عدد صحيح موجب الذي هو حاصل ضرب ثلاثة أعداد أولية فردية متمايزة (3 * 5 * 7) وهذه كثيرة الحدود هي الأولى التي لها معامل غير 1 ، 0 ، أو −1:

$\begin{array}{rr}{\mathrm{\Phi }}_{105}(x)& =x^{48}+x^{47}+x^{46}-x^{43}-x^{42}-2x^{41}-x^{40}-x^{39}+x^{36}+x^{35}+x^{34}+x^{33}+x^{32}+x^{31}-x^{28}-x^{26}\\ & -x^{24}-x^{22}-x^{20}+x^{17}+x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}-x^9-x^8-2x^7-x^6-x^5+x^2+x+1.\end{array}$