مبرهنة لاغرانج (نظرية الأعداد)

  لمعانٍ أخرى، طالع مبرهنة لاغرانج (توضيح).

في نظرية الأعداد،مبرهنة لاغرانج سميت نسبة إلى عالم الفرنسي جوزيف-لويس لاغرانج حول إمكانية الحصول على قيم صحيحة من كثيرة حدود على فترة محددة. بشكل أكثر دقة على ما يلي:

إذا كان p عددا أوليا و $f(x)$ متعددة حدود صحيحة معرفة على $\mathbb{Z}/p$ من الدرجة n ولا تساوي متعددة الحدود المنعدمة (أي على الأقل عامل من عواملها غير قابل للقسمة على p)، فإن المعادلة $f(x)\equiv 0(\mathrm{mod}p)$ لها على الأكثر n حلاً في $\mathbb{Z}/p$.

البرهان

لتكن $g(x)\in (\mathbb{Z}/p)[x]$ كثيرة الحدود التي نحصل عليها بأخذ عوامل f(x) mod p. الآن (i) f(k) تقبل القسمة على p إذا وفقط إذا g(k) = 0؛ (ii) g(k)ليس لديها جذور أكثر من درجتها.

لاحظ بأن g(x) = 0 إذا وفقط إذا كل معامل من معاملات (f(x يقبل القسمة على p. لنفرض أن (g(x لا تساوي 0؛ بالتالي فإن درجتها معرفة. من السهل ملاحظة أن $\mathrm{deg}g(x)\le \mathrm{deg}f(x)$. لإثبات (i)، يجب علينا أولاً حساب g(k) إما مباشرة بالتعويض بأحد البواقي k والقيام بالعمليات الحسابية $\mathbb{Z}/p$ أو بأخذ f(k) mod p. بالتالي g(k)=0 إذا وفقط إذا f(k) mod p يساوي 0. مايعني إذا وفقط إذا (f(k تقبل القسمة على p.
وأخيراً لاحظ أن الحلين $f(k_1),f(k_2){\equiv }_{p}0$ ليسا متطابقين mod p إذا وفقط إذا $k_1{\equiv ̸}_p{k}_2$. . والآن بوضع كل ماتوصلنا إليه: عدد الحلول الغير متطابقة mod p من (i) يساوي عدد حلول (g(x، والذي من (ii) من درجة (f(x على الأكثر.

مراجع

• LeVeque، William J. (2002) [1956]. Topics in Number Theory, Volumes I and II. New York: Dover Publications. ص. 42. Zbl:1009.11001.
• Tattersall، James J. (2005). Elementary Number Theory in Nine Chapters (ط. 2nd). مطبعة جامعة كامبريدج. ص. 198. Zbl:1071.11002.