ثوابت ستيلتجيس

تتلاقى منطقة المنطقة الزرقاء على ثابت أويلر-ماسكيروني ، وهو ثابت ستيلتجيس 0.

في الرياضيات ، ثوابت ستيلتجيس هي الأعداد

${\gamma }_k$

التي تظهر في متسلسلة لوران لدالة زيتا لريمان :

$\zeta (s)=\frac{1}{s-1}+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n!}{\gamma }_n(s-1{)}^n$

ثابت

${\gamma }_0=\gamma =0.577\dots$

يُعرف بثابت أويلر ماسكيروني .

التمثيلات

يتم إعطاء ثوابت ستيلتجيس بالنهاية الآتية :

${\gamma }_n=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}\{\sum _{k=1}^m\frac{(\ln k{)}^n}{k}-\frac{(\ln m{)}^{n+1}}{n+1}\}$

(في الحالة

$n=0$

، يتطلب الجمع الأول حساب قيمة

$0^0$

، والذي يعتبر 1. ) صيغة كوشي التكاملية تؤدي إلى التمثيل التكاملي لأعداد ستيلتجيس :

${\gamma }_n=\frac{(-1{)}^{n}n!}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{e}^{-nix}\zeta (e^{ix}+1)dx$

تعطي أعمال كل من جنسن، فرانيل، هيرميت ، هاردي ، رامانوجان ، اينسورث، هويل، كوبو، كونون، كوفي، تشوي، بلاغوشين وبعض الكتاب الآخرين تمثيلات مختلفة بواسطة التكامل والسلاسل الانهائية . على وجه الخصوص ، تنص صيغة التكامل لجنسن-فرانيل ، التي تُنسب غالبًا بشكل خاطئ إلى اينسورث و هويل ، على ما يلي:

${\gamma }_n=\frac{1}{2}{\delta }_{n,0}+\frac{1}{i}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{e^{2\pi x}-1}\{\frac{(\ln (1-ix){)}^n}{1-ix}-\frac{(\ln (1+ix){)}^n}{1+ix}\},n=0,1,2,\dots$

بحيث يرمز

${\delta }_{n,k}$

إلى دلتا كرونيكر . من بين الصيغ الأخرى ، نذكر :

${\gamma }_n=-\frac{\pi }{2(n+1)}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{(\ln (\frac{1}{2}\pm ix))}^{n+1}}{{\cosh }^2\pi x}dxn=0,1,2,\dots$ $\begin{array}{c}{\gamma }_1=-[\gamma -\frac{\ln 2}{2}]\ln 2+i\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{e^{\pi x}+1}\{\frac{\ln (1-ix)}{1-ix}-\frac{\ln (1+ix)}{1+ix}\}\\ [6mm]{\gamma }_1=-{\gamma }^2-\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[\frac{1}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x}]e^{-x}\ln xdx\end{array}$

طالع.

الحدود والنمو المقارب

ثوابت ستيلتجيس تستوفي المتفاوتة الآتية :

$\left|{\gamma }_n\right|\le \{\begin{array}{cc}\frac{2(n-1)!}{{\pi }^n},& n=1,3,5,\dots \\ [3mm]\frac{4(n-1)!}{{\pi }^n},& n=2,4,6,\dots \end{array}$

قدمها بيرندت عام 1972. تم الحصول على متفاوتة أفضل( أي أنها تستعمل دوال أكثر بساطة) بواسطة لافريك

$\left|{\gamma }_n\right|\le \frac{n!}{2^{n+1}},n=1,2,3,\dots$

بواسطة إسرائيلوف

$\left|{\gamma }_n\right|\le \frac{n!C(k)}{(2k{)}^n},n=1,2,3,\dots$

مع

$k=1,2,...$

و

$C(1)=1/2,C(2)=7/12$

،...من طرف نان يو و ويليامز

:$\left|{\gamma }_n\right|\le \{\begin{array}{cc}\frac{2(2n)!}{n^{n+1}(2\pi {)}^n},& n=1,3,5,\dots \\ [4mm]\frac{4(2n)!}{n^{n+1}(2\pi {)}^n},& n=2,4,6,\dots \end{array}$

قيم عددية

قيم أعداد ستيلتجيس هي

$n$	القيمة التقريبية ل${\gamma }_n$.
0	+0.5772156649015328606065120900824024310421593359
1	−0.0728158454836767248605863758749013191377363383
2	−0.0096903631928723184845303860352125293590658061
3	+0.0020538344203033458661600465427533842857158044
4	+0.0023253700654673000574681701775260680009044694
5	+0.0007933238173010627017533348774444448307315394
6	−0.0002387693454301996098724218419080042777837151
7	−0.0005272895670577510460740975054788582819962534
8	−0.0003521233538030395096020521650012087417291805
9	−0.0000343947744180880481779146237982273906207895
10	+0.0002053328149090647946837222892370653029598537
100	−4.2534015717080269623144385197278358247028931053 × 1017
1000	−1.5709538442047449345494023425120825242380299554 × 10486
10000	−2.2104970567221060862971082857536501900234397174 × 106883
100000	+1.9919273063125410956582272431568589205211659777 × 1083432