متجه رباعي

في النسبية الخاصة، فإن المتجه الرباعي (المعروف أيضاً باسم «المتجه 4») هو كائن ذو أربعة مكونات، يتحول بطريقة محددة تسمى تحول لورنتز. يمثل المتجه الرباعي عنصراً في الفضاء المتجهي رباعي الأبعاد ويُعتبر مساحة تمثيل للتمثيل القياسي لمجموعة لورنتز، التمثيل (½ ، ½). وهو يختلف عن المتجه الإقليدي في كيفية تحديد حجمه. التحولات التي تحافظ على هذا الحجم هي تحولات لورنتز، والتي تشمل التناوب المكاني والتعزيز (تغيير بواسطة سرعة ثابتة لإطار مرجعي قصوري آخر).

المتجه الرباعي يصف، على سبيل المثال، الموضع x^μ في الزمكان على غرار فضاء مينكوفسكي الزخم الرباعي للجسيم p^μ، والسعة الكهرومغناطيسية ذات الإمكانات الأربعة عند نقطة x في الزمان، وعناصر الفضاء الفرعي الممتد بواسطة مصفوفات جاما داخل الجبر الديراكي.

يمكن تمثيل مجموعة لورنتز بمصفوفات (Λ (4 × 4 . يتم إعطاء إجراء تحويل لورنتز على متجه رباعي عام X (الأمثلة أعلاه)، والذي يُعتبر متجهًا عمودًيا مع الإحداثيات الديكارتية فيما يتعلق بإطار مرجعي قصوري في المدخلات، والذي يعطى من خلال المعادلة التالية:

$X^{\prime }=\mathrm{\Lambda }X,$

(ضرب المصفوفة) حيث تشير مكونات الكائن المحضّر إلى الإطار الجديد. فيما يتعلق بالأمثلة المذكورة أعلاه والتي يتم تقديمها كمتجهات متعارضة، هناك أيضًا المتجهات المتجاورة المتقابلة x_μ و p_μ و A_μ(x) . حيث انها تتحول وفقا للقاعدة:

$X^{\prime }={(}^{{\mathrm{\Lambda }}^{-1}}X,$

حيث ^T تدل على تبديل المصفوفة. هذه القاعدة مختلفة عن القاعدة أعلاه، حيث انها تتوافق مع التمثيل المزدوج للتمثيل القياسي. ومع ذلك، بالنسبة لمجموعة لورنتز، فإن ازدواجية أي تمثيل يعادل التمثيل الأصلي. وبالتالي فإن الكائنات ذات المؤشرات المتغيرة هي متجهات رباعية كذلك.

للحصول على مثال لكائن مكون من أربعة مكونات حسن التصرف في النسبية الخاصة وليس متجهًا رباعياً، راجع البسبينور (bispinor). يتم تعريفه بالمثل، والفرق هو أن قاعدة التحول في ظل تحولات لورنتز يتم تقديمها بواسطة تمثيل آخر غير التمثيل القياسي. في هذه الحالة، تقرأ القاعدة Xقالب:′ = Π(Λ)X ، حيث Π(Λ) عبارة عن مصفوفة 4 × 4 بخلاف Λ . تنطبق الملاحظات المماثلة على الكائنات التي تحتوي على مكونات أقل أو أكثر يتم تصرفاتها بشكل جيد في ظل تحولات Lorentz. وتشمل هذه الحقل السلمي والسبينور ومجال الموتر، وسبينور مجال الموتر.

تتناول هذه المقالة المتجه الرباعي في سياق النسبية الخاصة. على الرغم من أن مفهوم المتجه الرباعي يمتد أيضًا إلى النسبية العامة، فإن بعض النتائج الواردة في هذه المقالة تتطلب تعديلًا في النسبية العامة.

الرموز

الرموز في هذه المقالة: أحرف صغيرة غامقة للمتجهات ثلاثية الأبعاد، القبعات لمتجهات الوحدة، الأحرف الكبيرة الغامقة للمتجهات رباعية الأبعاد (باستثناء درجة الانحدار الرابعة) ورمز مؤشر الموتر.

متجه رباعي (جبريا)

المتجه الرباعي في قيمة حقيقية

المتجه الرباعي A هو عبارة عن متجه ذو مكون «زمني» وثلاثة مكونات «مكانية»، ويمكن كتابته بترميزات مختلفة مكافئة:

$\begin{array}{rr}\mathbf{A}& =(A^0,A^1,A^2,A^3)\\ & =A^0{\mathbf{E}}_0+A^1{\mathbf{E}}_1+A^2{\mathbf{E}}_2+A^3{\mathbf{E}}_3\\ & =A^0{\mathbf{E}}_0+A^i{\mathbf{E}}_i\\ & =A^{\alpha }{\mathbf{E}}_{\alpha }\\ & =A^{\mu }\end{array}$

حيث في الشكل الأخير تم دمج المكون الكمي ومتجه القاعدة في عنصر واحد.

تشير المؤشرات العليا إلى مكونات مخالفة (contravariant). في هذه الحالة، تشير المصطلحات القياسية إلى أن المؤشرات اللاتينية تأخذ قيمًا للمكونات المكانية، بحيث تأخذ i = 1، 2، 3، والمؤشرات اليونانية قيمًا لمكونات الفضاء والوقت، لذلك α = 0، 1، 2، 3، تُستخدم مع ترميز أينشتاين. يعد الفصل بين المكون الزمني والمكونات المكانية مفيدًا عند تحديد انقباضات متجه واحد بأربعة متجهات بكميات التينور الأخرى، مثل لحساب مثيلات لورينتز في المنتجات الداخلية (الأمثلة المذكورة أدناه)، أو رفع وخفض المؤشرات.

في النسبية الخاصة، غالبًا ما تكون القاعدة شبه المكانية E ₁ و E ₂ و E ₃ والمكونات A ¹ و A ² و A ³ أساسًا ديكارتًا ومكوناته:

$\begin{array}{rr}\mathbf{A}& =(A_t,A_x,A_y,A_z)\\ & =A_t{\mathbf{E}}_t+A_x{\mathbf{E}}_x+A_y{\mathbf{E}}_y+A_z{\mathbf{E}}_z\\ \end{array}$

ولكن يمكن استخدام أي قاعدة ومكونات أخرى، مثل الإحداثيات القطبية الكروية

$\begin{array}{rr}\mathbf{A}& =(A_t,A_r,A_{\theta },A_{\varphi })\\ & =A_t{\mathbf{E}}_t+A_r{\mathbf{E}}_r+A_{\theta }{\mathbf{E}}_{\theta }+A_{\varphi }{\mathbf{E}}_{\varphi }\\ \end{array}$

أو الإحداثيات القطبية الاسطوانية،

$\begin{array}{rr}\mathbf{A}& =(A_t,A_r,A_{\theta },A_z)\\ & =A_t{\mathbf{E}}_t+A_r{\mathbf{E}}_r+A_{\theta }{\mathbf{E}}_{\theta }+A_z{\mathbf{E}}_z\\ \end{array}$

أو أي إحداثيات متعامدة أخرى، أو حتى إحداثيات عامة منحنية. لاحظ دائمًا أن تسميات الإحداثيات يتم كتابتها كتسميات وليست مؤشرات تأخذ قيمًا رقمية. في النسبية العامة، يجب استخدام الإحداثيات المحلية المنحنية على أساس محلي. من الناحية الهندسية، لا يزال من الممكن تفسير المتجهات الأربعة على أنها أسهم، ولكن في الزمكان - وليس فقط الفضاء. في النسبية، يتم رسم الأسهم كجزء من مخطط مينكوسكي (وتسمى أيضًا مخطط الزمكان). في هذه المقالة، سيشار إلى المتجهات الأربعة ببساطة كمتجهات.

من المعتاد أيضًا تمثيل القواعد (bases) بواسطة متجهات الأعمدة:

${\mathbf{E}}_0=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right),{\mathbf{E}}_1=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right),{\mathbf{E}}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right),{\mathbf{E}}_3=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

وبالتالي:

$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{c}{A}^0\\ A^1\\ A^2\\ A^3\end{array}\right)$

العلاقة بين الإحداثيات المتغيرة والمتناقضة هي من خلال موتر مينكوفسكي المتري (يشار إليه بالمقياس المتري)، η الذي يرفع ويخفض المؤشرات على النحو التالي:

$A_{\mu }={\eta }_{\mu \nu }{A}^{\nu },$

وفي مختلف الرموز المكافئة، تكون المكونات المتغيرة هي:

$\begin{array}{rr}\mathbf{A}& =(A_0,A_1,A_2,A_3)\\ & =A_0{\mathbf{E}}^0+A_1{\mathbf{E}}^1+A_2{\mathbf{E}}^2+A_3{\mathbf{E}}^3\\ & =A_0{\mathbf{E}}^0+A_i{\mathbf{E}}^i\\ & =A_{\alpha }{\mathbf{E}}^{\alpha }\\ \end{array}$

حيث يشير المؤشر الذي تم خفضه إلى أنه متغير. غالبًا ما يكون القياس قطريًا، كما هو الحال بالنسبة للإحداثيات المتعامدة (انظر عنصر الخط)، ولكن ليس في الإحداثيات العامة المنحنية.

أيضاً يمكن تمثيل القواعد بواسطة متجهات الصف:

${\mathbf{E}}^0=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\end{array}\right),{\mathbf{E}}^1=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\end{array}\right),{\mathbf{E}}^2=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\end{array}\right),{\mathbf{E}}^3=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

وهكذا:

$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}{A}_0& A_1& A_2& A_3\end{array}\right)$

تحويل لورنتز

نظرًا لوجود إطارين مرجعيين للقصور الذاتي أو الاستدارة، يتم تعريف المتجه على أنه كمية تتحول وفقا لتحويلات لورنتز للمصفوفة Λ :

${\mathbf{A}}^{\prime }=\mathrm{\Lambda }\mathbf{A}$

في رمز المؤشر، تتحول المكونات المتعارضة والمتغيرة وفقًا لما يلي، على التوالي:

${A^{\prime }}^{\mu }={\mathrm{\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }{A}^{\nu },{A^{\prime }}_{\mu }={\mathrm{\Lambda }}_{\mu }{\nu }^{}{A}_{\nu }$

فيه Λ مصفوفة على مكونات ^_Λ μ ν في الصف   μ والعمود   ν ، والمصفوفة العكسية Λ ⁻¹ بها مكونات row _μ ^ν في الصف   μ والعمود   ν .

للحصول على معلومات أساسية حول طبيعة تعريف التحول هذا، راجع الموتر. جميع المتجهات الأربعة تتحول بالطريقة نفسها، ويمكن تعميم ذلك على التنسورات النسبية رباعية الأبعاد؛ انظرالنسبية الخاصة.

دورات نقية حول محور تعسفي

استدارة الإطارين بزاوية ثابتة θ حول محور يحددها متجه الوحدة:

$\hat{\mathbf{n}}=({\hat{n}}_1,{\hat{n}}_2,{\hat{n}}_3),$

التكوين القياسي لأنظمة الإحداثيات ؛ لزيادة لورنتز في اتجاه x .

دون أي يعزز وΛ مصفوفة على مكونات المعادلة:

${\mathrm{\Lambda }}_{00}=1$

${\mathrm{\Lambda }}_{0i}={\mathrm{\Lambda }}_{i0}=0$

${\mathrm{\Lambda }}_{ij}=({\delta }_{ij}-{\hat{n}}_i{\hat{n}}_j)\cos \theta -{\epsilon }_{ijk}{\hat{n}}_k\sin \theta +{\hat{n}}_i{\hat{n}}_j$

حيث δ _ij هي دلتا كرونكر، و ε _ijk هي رمز Levi-Civita ثلاثي الأبعاد. يتم تدوير المكونات الشبيهة بالفضاء المتجهي الرباعي، بينما تظل المكونات الشبيهة بالوقت دون تغيير.

بالنسبة لحالات الدوران حول المحور z فقط، فإن الجزء المشابك لمصفوفة لورنتز يقلل إلى مصفوفة الدوران حول المحور z :

$\left(\begin{array}{c}{A^{\prime }}^0\\ {A^{\prime }}^1\\ {A^{\prime }}^2\\ {A^{\prime }}^3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& \cos \theta & -\sin \theta & 0\\ 0& \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 0& 1\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{A}^0\\ A^1\\ A^2\\ A^3\end{array}\right).$

الخصائص

الخطية

أربعة متجهات لها نفس الخصائص الخطية مثل المتجهات الإقليدية في ثلاثة أبعاد. يمكن إضافتها بالطريقة المعتادة المتبادلة:

$\mathbf{A}+\mathbf{B}=(A^0,A^1,A^2,A^3)+(B^0,B^1,B^2,B^3)=(A^0+B^0,A^1+B^1,A^2+B^2,A^3+B^3)$

موتر مينكوفسكي

عند تطبيق موترمينكوفسكي η_μν على متجهين رباعيين A و B ، وكتابة النتيجة بترميز المنتج في النقاط، لدينا، باستخدام ترميز آينشتاين:

$\mathbf{A}\cdot \mathbf{B}=A^{\mu }{\eta }_{\mu \nu }{B}^{\nu }$

من المناسب إعادة كتابة التعريف في شكل مصفوفة:

$\mathbf{A}\mathbf{\cdot }\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cccc}{A}^0& A^1& A^2& A^3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}{\eta }_{00}& {\eta }_{01}& {\eta }_{02}& {\eta }_{03}\\ {\eta }_{10}& {\eta }_{11}& {\eta }_{12}& {\eta }_{13}\\ {\eta }_{20}& {\eta }_{21}& {\eta }_{22}& {\eta }_{23}\\ {\eta }_{30}& {\eta }_{31}& {\eta }_{32}& {\eta }_{33}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{B}^0\\ B^1\\ B^2\\ B^3\end{array}\right)$

المتجهات الثنائية

غالبًا ما يتم التعبير عن تطبيق موتر منكوفسكي باعتباره تأثير المتجه الثنائي لأحد المتجهات على الآخر:

$\mathbf{A}\mathbf{\cdot }\mathbf{B}=A^{*}(\mathbf{B})=A{\nu }_{}{B}^{\nu }.$

هنا A_νs هي مكونات المتجه المزدوج A* من A على أساس مزدوج وتسمى إحداثيات متغيرة من A، في حين تسمى مكونات A^ν الأصلية إحداثيات المخالفة (contravariant).

انظر أيضًا

• الميكانيكا النسبية
• متجه الموجة
• مكان مينكوفسكي