مشتق جزئي

مشتق جزئي

الاشتقاق الجزئي (بالإنجليزية: Partial derivative)‏ في علم الرياضيات هو اشتقاق دالة رياضية مكونة من عدة متغيرات بحيث يكون ذلك الاشتقاق بالنسبة لأحد هذه المتغيرات مع معاملة باقي المتغيرات كثوابت ، والاشتقاق الجزئي ذو فائدة كبيرة في التحليل الشعاعي والهندسة التفاضلية.

والاشتقاق الجزئي يستخدم عندما تكون الدالة ذات عدة متغيرات ، ويستخدم الرمز (∂) بدلًا من الرمز (d)؛ لأنه اشتقاق لدالة في عدة متغيرات.

وحيث أن المشتقة الجزئية الخاصة للدالة ذات المتغيرين (ƒ (x, y إذا تم اشتقاقها بالنسبة للمتغير (x) يمكن التعيبر عنها بالصيغة الرياضية:

$f_x^{\prime },f_x,{\partial }_{x}f,D_{x}f,D_{1}f,\frac{\partial }{\partial x}f,\text{ or }\frac{\partial f}{\partial x}.$

وبشكل عام، تكون الدالة المشتقة جزئيًّا تملك نفس الشكل العام الخاص بالدالة الأصلية ، ويمكن التعبير عن هذا رياضيًّا كالتالي:

$f_x(x,y,...),\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,...).$

بالإضافة إلى أنه يمكن استخدام الاشتقاق الجزئي أيضًا للدوال ذات الثلاث متغيرات ''(ƒ(x, y, z، بحيث يكون للدالة ثلاث مشتقّات ، وكل مشتقّة بدلالة واحدة من الثلاث متغيرات ، ويكون التعويض في أي واحدةً فيهنَّ يعطي ميل خط المماس المار بالإتجاه الخاص بمحوره.

تعريف المشتقة لدالة ذات متغيرين

هناك تعريف عام للمشتقّة الأولى الخاصة بالدالة ذات المتغيرين ، وهو شبيه بالتعريف الخاص بالمشتقة للدالة ذات متغير واحدٍ فقط، ويمكن التعبير عنه بالصيغة الآتية:- [1]

المشتقات الجزئية من الرتبة الأولى

$\frac{\partial f}{\partial x}=f_x={\partial }_{x}f$

المشتقات الجزئية من الرتبة الثانية

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=f_{xy}=f_{yx}={\partial }_{xy}f={\partial }_{yx}f$